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一、简答题

1． 能级的简并度指的是什么？

【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。

2． 量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？

【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.

量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.

3． 试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由.

【答案】量子态的叠加原理：若

仍然为粒子可能处于的态.

叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.

4． 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】

5． 什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？

【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.

6． 完全描述电子运动的旋量波函数为分别表示什么样的物理意义。

【答案

】表示电子自旋向

下

第 2 页，共 43 页 为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合 问是否试述

及位置

在处的几率密度；

表示电子自旋向上的几率。

7． 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】

8． 非相对论量子力学的理论体系建立在一些基本假设的基础上，试举出二个以上这样的基本假设，并简述之。

【答案】（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。

（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量换为算符

数。

（3）将体系的状态波函数用算符的本征函数展开：

则在

盔中测量力学量得到结果为

（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程其中是体系的哈密顿算符。 的几率是

得到结果在

范围内的几率是得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函

（5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。 以上选三个作为答案。

9． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数已知：另一部分很小，可以看作是加于它的本征值上的微扰. 写出在非简并状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。

【答案】一级修正波函数为

二级近似能量为 其中

10．简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。

【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数

用算符的本征函数展开

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则在

为

态中测量粒子的力学量^得到结果为

的几率是 得到结果在范围内的几率

二、计算题

11．自旋在方向的粒子，磁矩为置于沿z 方向的磁场中，写出其哈密顿量，并求其概率幅与时间的关系。

【答案】将上述自旋在方向的粒子（譬如电子）置于沿z 方向的磁场B 中观察其概率幅的变化。这时的哈密顿矩阵为：

式中

，是泡利矩阵，为粒子的磁矩。电子负电，从而自旋磁矩与角动量的方向相反。当自旋角动量和磁场同沿z 方向时，磁矩沿-z 方向。

可得薛定谔方程为：

即：

积分后得：

取t=0时刻的初始条件为则:

式中，

围绕极轴转动，相由上式可以看出，粒子的自旋矢量始终与极轴保持固定的夹角但以角速度

当于经典电磁学中磁偶极子在外磁场中拉莫旋进的角速度，如图所示。

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