● 摘要
摘 要
矩阵是现代数学的一个重要分支,它在处理复杂问题时往往有着表达简洁,刻画深入等优点,所以成为了处理数学和工程技术问题的重要工具.非负矩阵是矩阵理论中的一个主要矩阵类,它在自动控制理论、运筹学、线性规划理论、计算数学、图论等许多学科领域都有着非常广泛的应用, 因此对非负矩阵性质的研究就有着很现实的意义, 其中最主要的就是非负矩阵谱半径的界值估计问题.
文章主要研究了非负矩阵和非负不可约矩阵的性质,并得到了一些关于非负矩阵谱半径界值范围的结论,利用这些结论对非负不可约矩阵的谱半径进行了新的估计.
本文共分为四个章节,各章的主要内容如下：
第一章主要介绍了本文需要用到的一些符号,基本的定义和基本的定理.主要包括了非负矩阵、非负不可约矩阵、置换矩阵、谱半径、最大特征向量等概念和一些相关的定理.
第二章主要通过构造新的矩阵、反证等方法推导和证明了非负矩阵不可约性的一些等价条件,并对非负不可约矩阵的结构、元素等性质进行了归纳和探讨.
第三章主要利用非负矩阵的性质对正矩阵和一般非负矩阵谱半径界值范围的一些定理进行了推导和证明.通过分析比较得到了这些界值范围的大小关系,并用具体的数值例子对得出的结果进行了验证.
第四章主要利用非负不可约矩阵和Collatz—Wielandt函数的性质,给出了非负不可约矩阵谱半径的一些界值范围.比较这些界值范围的大小,利用极限的思想得到了求非负不可约矩阵谱半径的新方法.并通过数值计算,验证了这种估计方法是可行的.
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