2017年四川大学原子与分子物理研究所832量子力学之量子力学导论考研仿真模拟题
● 摘要
一、简答题
1． 在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？
【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。
2． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据
对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于
粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
3． 已知为一个算符满足如下的两式么正算符？
【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。
4． 有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。
【答案】不同意。因为
5． 简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。 函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数则在
用算符的本征函数
展开
态中测量粒子的力学量^
得到结果为
的几率是
得到结果在
范围内的几率
为
6． 什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？ 【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。
选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：
圆偏光选择定则：
为实函数，但
可以为复函数。
问何为厄密算符？何为
【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波
7． 如果算符表示力学量那么当体系处于的本征态时，问该力学量是否有确定的值？
【答案】是，
其确定值就是在本征态的本征值。
8． 写出在表象中的泡利矩阵。 【答案】
9． 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系
时有确定的测值。
10．自旋可以在坐标表象中表示吗？
【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。
物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同
二、计算题
11．已知厄米算符. （1）在A 表象中算符
满足
的矩阵表示。
且
求：
（2）在B 表象中算符的本征值和本征函数。 （3）从A 表象到B 表象的么正变换矩阵S 。 【答案】（1）由于所以，
在A 表象中算符的矩阵是
：设在A 表象中算符
的矩阵是由于
所以：
则有：
所以：
则有：令
其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为：
所以算符的本征值是因为在A 表象中，算符的矩阵是对角矩阵，
利用
得：
由于是厄米算符，
（2）类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：
α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即对
有：
对
有：
所以，在B 表象中算符的本征值是
，本征函数为：
和-（3）类似地，在A 表象中算符的本征值是
则
可得：
即
则有：
本征函数为：
从A 表象到B 表象的么正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即：
12．设
是
方向的单位矢量，在表象中
，
（1）计算（2）计算
并将结果表示为三个泡利矩阵的线性组合（要求给出组合系数）。 的本征态
试证该态与的方向无关，即由不同得到
（3
）设两电子自旋态为的态最多相差相因子。 【答案】⑴
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