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一、简答题

1． 试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。

【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。

2． 写出在【答案】

3． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符

其中，

定义电子的自旋算符，并验证它们

表象中的泡利矩阵。

4． 反常塞曼效应的特点，引起的原因。 【答案】原因如下：

（1）碱金属原子能级偶数分裂； （2）光谱线偶数条；

（3）分裂能级间距与能级有关；

（4）由于电子具有自旋。

5． 什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?

【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.

6． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数

已知：另一部分

很小，可以看作是加于

它的本征值

上的微扰. 写出在非简并

状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】一级修正波函数为二级近似能量为其中

如何归一化？解释各项的几率意义。

进行归一化，其中

：

表示粒子在

处

的几率密度。

表示粒子在

|

处

7． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】

利用

的几率密度；

8． 在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？

【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。

9． 如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为.

则对任意波函数

完全系为有：

可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

10．波函数是否描述同一状态？ 【答案】

与

描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。

依题意

二、计算题

11．设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量为（1）求很长时间后已知，基态

电子跃迁到激发态的概率.

其中 T 为常数。

已知，a 基态其中为玻耳半径.

（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零? 简述理由

.

【答案】（1）根据跃迁几率公式

其中

可知，必须先求得

终态量子数必须是

到末态

的跃迁矩阵元为

将

代入跃迁几率公式

根据题意知，氢原子在t>0时所受微扰为：氢原子初态波函数为：根据选择定则记由初态

（2）基态电子跃迁到

的几率均为0, 因为不符合跃迁的选择定则

）中。对下列两种情况

12．两个无相互作用的粒子（质量均为m ）置于一维无限深方势阱（函数。

（1）两个自旋为的可区分粒子。 （2）两个自旋为的全同粒子。

写出：两 粒子体系可具有的两个最低总能量值，相应的简并度以及上述能级对应的所有二粒子波