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一、分析计算题

1． 已知离散系统的状态方程为

试用李雅普诺夫第二法确定使平衡点渐近稳定的a 的取值范围。 【答案】由题意可得

P 为对称矩阵，由方程

可以得到

整理得

注意到若

代入可以得到

则此时

不成立，因此

得到

P 正定时

且

又

故

得

2． 系统的信号流图如图所示，求传递函数

和

图

【答案】由系统信号流图可知

因此传递函数

和

分别为

3． 控制系统如图所示，输入信号r （t ）=1（t ），干扰信号n （t ）=0.IsinlOOt。要求系统的稳态误差不大于0.001，试确定k 值的可调范围。

图

【答案】系统闭环特征方程为稳态误差

=0。

各系数大于零，系统闭环稳定，故要求k>0。

系统的开环传递函数中积分环节的个数为1，即v=l，因此在输入信号r （t ）=1（t ）作用下的系统在正弦干扰作用下，误差的稳态部分为同频率的正弦振荡。误差传递函数为

误差稳态振荡的振幅

由

系统稳态误差的最大值

系统要求稳态误差

即

解得

中看出，k 值大，

就大，阻尼比就太小，所以

故

系统的稳定性要求k>0，故因为从系统的闭环特征方程

取比较合适。

4． 系统框图如图1（A ）所示，要求将系统等效变换成图1（B ）和图1（C ）所示的框图结构，并求

的表达式。

图1

【答案】将图1（A ）中引出点后移，再将比较点合并得到方框图如下所示：

系统的进一步化简

图2

根据以上化简过程可知：

5． 已知负反馈系统的开环传递函数为

试作出T

从【答案】特征方程

的根轨迹图。