2018年中国石油大学(北京)理学院662量子力学考研基础五套测试题
● 摘要
一、填空题
1 用球坐标表示,.粒子波函数表为【答案】
写出粒子在球壳
中被测到的几率_____。
2. 对氢原子,不考虑电子的自旋,能级的简并度为_____,考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时,能级的简并度为_____。
【答案】
3. 波函数的统计解释是:波函数在空间某一点处的_____和在该点扰到粒子的_____成正比。 【答案】强度;几率
4. (1)体系处在用归一化波函数算符的本征函数系展开. 即
描述的状态. 且此波函数可以按力学量A 所对应的厄米认为
是归一的,则决定系数的表达式为_____。
_____。
(2)题(1)中设是算符的本征值,则力学量A 的平均值果的概率为_____。 【答案】(1)【解析】由题意考虑到正交归一化条件(2)
以及正交归一化条件
在上式两边乘以
有
并积分得
(3)题(1)中当对体系进行力学量A 测量时,测量结果一般来说是不确定的. 但测量得到某一结
【解析】由平均值定义式(3)
为确定
在上式两边乘以有
而概率应该为
为定值.
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有
【解析】由题意考虑到正交归一化条件
并积分得
5. 如图所示,有一势场为: ,当粒子处于束缚态时,£的取值范围为_____。
图
【答案】
6. —个电子运动的旋量波函数为则表示电子自旋向上、位置在处
的几率密度表达式为_____,表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】
二、证明题
7. 试证明,表象经么正变换后,不改变算符本征值。 【答案】设可得:
(其中
为幺正变换,则:
)
可见,本征值不变。
8. —粒子处于势场V (x )中,且势V (x )没有奇点. 假设相应的本征能量色【答案】由题意
并在方程两边同时积分
又
则
则由正交归一化条件有
有
考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有设粒子本征波函数完备集为
试证明这两个波函数对应的态矢正交.
是束缚态的波函数,
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态矢为态矢为
即
Ⅳ、Ⅴ代入Ⅲ有此即
亦即两个波函数对应态矢正交.
三、计算题
9. 简述能量的测不准关系。
【答案】能量测不准关系的数学表示式为
即微观粒子的能量与时间不可能同时进行
准确的测量,其中一项测量的越精确,另一项的不确定程度越大。
10.(1)求算符【答案】⑴
即算符⑵则
不对易.
得证.
的对易关系. (2)证明
其中
11.对于一个限制在边长为L 的立方体中的自旋为1/2、质量为m 的粒子,计算基态与第二激发态的本征能量及相应的本征态波函数.
【答案】这是一个三维方势阱问题,例子波函数为
S 为自旋波函数. 可分离变量得
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