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一、计算题

1． 图1所示两轮的半径各为

和

其质量各为

和

两轮以胶带相连接, 各绕两平行的固定轴

的阻力偶. 带轮可视

转动. 如在第一个带轮上作用矩为M 的主动力偶, 在第二个带轮上作用矩为

为均质圆盘, 胶带与轮间无滑动, 胶带质量略去不计. 求第一个带轮的角加速度

.

图1

【答案】如图2所示

.

图2

分别以两轮为研究对象, 由定轴转动微分方程可得

其中

解得

2． 空间任意力系总可以用两个力来平衡, 为什么？

【答案】空间任意力系简化的最后结果为合力, 合力偶是力螺旋, 而力螺旋又可分解为作用线异面的两个力。以上结果均可找到两个力与之平衡。

3． 二级火箭中各级的质量分别为

如果火箭的总质量完时的速度为最大，

则

并问当耗尽的时间为t , 则:

和各级中包括的燃料质量分别为及.

载荷的质量为

为给定值，且燃料喷射的相对速度应满足下面的条件:

常数. 试证明要使火箭在燃烧

时，火箭在燃烧完的速度为最大值时的质量比

【答案】取火箭为研究对象，设火箭的质量为，其上作用的外力为mg ，燃料

将上式分离变量并积分

燃料耗尽时，则有

因此燃料耗尽的时间为:

将代入式（1）可得:

若载荷质量为把

由①②③可得:

代入上式有

4． 火箭起飞质量1000kg , 其中包括燃料质量900kg ，在t=0时，铅直发射. 已知燃料以10kg/s的速率消耗，并以相对速度2100m/s喷出. 求

时火箭的速度和加速度.

，则该时刻的动力学方程为:

【答案】取火箭为研究对象，设火箭t 时刻的质量为m （t ）

根据动量守恒定律

其中

是气体喷发速度，

是气体单位时间的喷出量.

变质量下质点运动的动力学方程为:

联立①②③，并代入初始条件t=0，

可得:

此时火箭的速度达到最大值，设此时火箭质量为

当

时，燃料刚好耗尽，这时计算的是耗尽前的瞬时加速度.

5． 图所示质量为m 的重物, 初速为零, 自高度h=lm处落下, 打在水平梁的中部后与梁不再分离. 梁的两端固定, 在此重物静力的作用下, 该梁中点的静止烧度

如以重物在梁上的静止平

衡位置为原点, 作出铅直向下的轴y , 梁的重量不计. 写出重物的运动方程

.

图

【答案】梁相当于弹簧, 重物将做简谐振动, 重物的运动微分方程为:

振动的固有频率为:

上述方程的通解为:

重物与梁接触前的速度为:

所以运动的初始条件为t=0时, 将初始条件代入, 解得:所以重物的运动方程是: