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一、选择题

1． 量子力学中的力学量用_____算符表示，表示力学量的算符有组成_____的本征函数。 【答案】厄密；完全系

2． （1）【答案】 3．

【答案】

4． 下列算符

【答案】

5． 量子谐振子的能量是（ ）

.

【答案】A

【解析】

由于谐振子的哈密顿算符为

6． 考虑个无相互作用的玻色子处在一维无限深势阱中，粒子质量为

势阱范围为

则体系的基态能量是（ ）。

【答案】E

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_____；（2）

_____

_____。

_____。

是线性算符的是_____。

而本征值为n ，

于是谐振子能量为

二、简答题

7． 简述波函数的统计解释。

【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

8． 写出电子在外电磁场中的哈密顿量。 【答案】

9． 已知为一个算符么正算符？

【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。

10．波函数是否描述同一状态？

【答案】

与描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。

11．放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？

【答案】与量子隧穿效应有关。

12．如果算符表示力学量那么当体系处于

满足如下的两式

问何为厄密算符？何为

的本征态时，问该力学量是否有确定的值？

【答案】是，

其确定值就是在本征态的本征值。

13．简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。

【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数则在为

用算符的本征函数

展开

态中测量粒子的力学量^

得到结果为

的几率是

请分别指出他们对应的是哪些系统。

对应一维无限深势阱；

对应

得到结果在

范围内的几率

14．现有三种能级【答案】

对应中心库仑势系统，例如氢原子；

一维谐振子．

15．以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量

用算符表示，

当体系处于某个能量态

的作用是得到这一本征值，即

当体系处于一般态

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的本征态时，算符对

的作

时，算符对态

用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率），即

16．归一化波函数是否可以含有任意相因子 【答案】可以。因为即用任意相因子归一化。

如果

对整个空间积分等于1，则

对整个空间积分也等于1。

去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的

三、证明题

17．设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下，【答案】设束缚定态为

即有：

因A 不显含时间t , 所以

18．（1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数. （2）证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. （3）对于角动量算符

证明它是厄米算符，并且求解其本征方程.

因为存在

数

（2）证：因为而（3）因为

所以

即正交

具有周期性，

所以

即本征值为实

因而有：

【答案】（1）证：对于厄米算符

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