2018年广西大学农学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
目录
2018年广西大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题（一）.... 2 2018年广西大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题（二）.. 12 2018年广西大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题（三）.. 22 2018年广西大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题（四）.. 30 2018年广西大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题（五）.. 38
一、解答题
1． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
2．
设的所有矩阵.
即
时
此时方程组无解.
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
得到方程组Ax=0同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3
矩阵，设对矩阵（AE
）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
即满足AB=£；的所有矩阵为其中为任意常数.
3．
设
为三维单位列向量，并且
记
证明
：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0
有非零解
；
（Ⅱ）A 相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知向量.
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
故A 有零特征值
的非零解即为对应的特征
又且
另外，
由
故可知
为A 的特征值
，为
4的
2重特征值，
为对应的特征向量
.
为A 的
3个
为4的单重特征值.
为两个正交的非零向量，从而线性无关. 故
线性无关的特征向量，
记
则
即A 相似于矩阵
4．
已知A
是3阶矩阵
，
是3维线性无关列向量，且
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A
的特征值和特征向量： （Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令记
因
则有
线性无关，故P 可逆
.
即A
与B
相似.
（
Ⅱ
）由
A
的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1,
故矩阵
得特征向量那么由：即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1的所有特征向量是
芄中不
相关内容
相关标签