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一、解答题

1．

已知方程组量依次是

（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ

）求【答案】

当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，

则当g=0时，

则值的特征向量.

由

知

线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征

的基础解系.

有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向

（Ⅱ

）

2． 设B

是

（I

）证明（II

）证明（III

）若【答案】⑴

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知的基础解系，

即为

的特征向量

矩阵

逆其中E 是n 阶单位矩阵.

且A 可对角化，

求行列式

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（II ）

（Ⅲ）设

则由

知

即

或1. 又存在可逆矩阵p ,

使或1.

3．

设

当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，

并求所有矩阵C.

【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设

则AC-CA=B

可变形为

即得到线性方程组

若要使

C 存在

，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，

故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时，

所以方程组的通解为

也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为

其中

为任意常数.

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4． 设A

为

的解为【答案】

由

矩阵

且有唯一解. 证明：

矩阵为A 的转置矩阵）.

易知

为可逆矩阵，

且方程组

只有零解.

使

.

所

只有零

有惟一解知

则方程组

. 即

即有

可逆.

利用反证法，

假设以有

解矛盾，故假设不成立，

则

由

.

得

有非零解，即存在

于是方程组

有非零解，这与

二、计算题

5． 用配方法化下列二次型成规范形，并写出所用变换的矩阵：

（1

）（2

）（3

）

令

即

【答案】⑴由于f

中含变量的平方项，

故把含的项归并起来，配方可得

写成矩阵形式：x=Cy，这里

为可逆阵. 在此可逆变换下，f 化为规范形：

（2）由于f

中含变量的平方项，

故把含的项归并起来，配方可得

令

即

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