2018年广州大学数学与信息科学学院924数学[专业硕士]之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知三元二次型
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得
2．
已知其中E
是四阶单位矩阵是四阶矩阵A 的转置矩阵
，
求矩阵A
【答案】
对
作恒等变形，
有即
由
故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
所以有
3． 已知A
是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
的解.
对
贝腕阵
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
由
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
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得到
所以矩阵
的基础解系为
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
对
线性表出，故可设
作初等行变换，有
于是
则既可由
线性表出，
也可
不全为
当a=0
时，
解出
因此，
Ax=0与
Bx=0
的公共解为
4． 设线性方程m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，
备解时求出其解.
其中
t 为任意常数.
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（
2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解. 此时原方程组与同解，解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3）当（4）当
即
时
此时方程组无解.