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一、选择题

1． 量子力学中，体系的任意态_____，展开式系数_____。 【答案】

可用一组力学量完全集的共同本征态

展开，展开式为

2． 考虑个无相互作用的玻色子处在一维无限深势阱中，粒子质量为

势阱范围为

则体系的基态能量是（ ）。

【答案】E

3． 角动量算符满足的对易关系为【答案】

4． 如两力学量算符【答案】0

有共同本征函数完全系，则它们满足对易关系为

_____。

_____，坐标和动量的对易关系是_____。

二、计算题

5． 粒子在一维无限深势阱中运动. 设该体系受到（1）利用微扰理论求第n 能级的准至二级的近似表达式. （2）指出所得结果的适用条件. 【答案】（1） 一维无限深方势阱：体系的零级近似波函数和零级近似能量

求到二级，矩阵元一般形式

的微扰作用。

则第n 能级的二级近似能量

（2）结果适用的条件是：即

6． 一质量为m 的粒子，可在宽为a 无限深势阱当中自由运动. 在t=0的初始时刻其波函数为

其中A 为实常数. （1）求A 使平均值？

（3）求t 时刻的波函数

满足归一化条件.

（2）如果进行能量测量，则能得到哪些能量值? 相应取这些能量值的概率又是多少? 再计算能量的

【答案】（1）无限深方势阱中粒子的本征波函数为初始时刻波函数可化为

由归一化条件有

（2）无限深方势阱中粒子的本征能量为

解得

.

故粒子可能测得能量即

测得能量的平均值为

（3） t 时刻波函数为

7． 已知厄米算符. （1）在A 表象中算符

满足

的矩阵表示。

且求：

（2）在B 表象中算符的本征值和本征函数。 （3）从A 表象到B 表象的么正变换矩阵S 。 【答案】（1）由于所以，

在A 表象中算符的矩阵是

：设在A 表象中算符

的矩阵是由于

所以：

则有：

所以：

则有：令

其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为：

（2）类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：

α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即

所以算符的本征值是因为在A 表象中，算符的矩阵是对角矩阵，

利用

得：

由于是厄米算符，

即

则有：

则可得：