2017年江西农业大学动物科技学院701数学之概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设总体μ，则
即
将（*）式两端对H 求导，并注意到
有
这说明为证明
即
于是
从而
的UMVUE.
的UMVUE. 【答案】大家知道：
分别是
的无偏估计，设
是0的任一无偏估计，
为样本，证明，
分别为
的UMVUE ，我们将（**）式的两端再对求导，得
由此可以得到的项，有
下一步，将（*）式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0
这表明这就证明了 2． 设计.
【答案】由于
独立同分布，
，证明：
是的相合估
由此可得到的UMVUE.
因而
这就证明了
，是的相合估计.
3． 设X , Y 均为（0, 1）上独立的均匀随机变量, 试证:
【答案】因为（X , Y ）的联合密度函数为
所以
4． 设X 为非负连续随机变量，证明：对
，则有
【答案】设X 的密度函数为p （X ）
5． 设随机变量序列证:
【答案】这时
6． 从正态总体
仍为独立同分布, 且
由辛钦大数定律知结论成立.
独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且
试
中随机抽取容量为100的样本，又设的先验分布为正态分布，证明：不
，由共轭先验可知，的后验分布仍为正态分布由于n=100，所以
其
管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
【答案】设的先验分布为中
故，不管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
7． 设随机变量
相互独立, 且
试证:
【答案】
的联合密度为
而事件
从而该事件的概率为
8． 设随机变量X 与Y 相互独立, 且方差存在。证明:
【答案】
9． 设随机变量X 服从（1, 2）上的均匀分布, 在X=x的条件下, 随机变量Y 的条件分布是参数为x 的指数分布, 证明:XY 服从参数为1的指数分布.
【答案】因为令
则
的逆变换为
, 所以
此变换的雅可比行列式为
所以（U , V ）的联合密度函数为
由此得U=XY的边际密度函数为
这表明:U=XY服从参数为1的指数分布.
10．证明:若
则对
有
并由此写出
与
其
中
【答案】由t 变量的结构知, t 变量可表示
为
且u 与v 独立, 从而有
由于