2017年华南师范大学生物光子学研究院830量子力学之量子力学教程考研题库
● 摘要
一、填空题
1． （1）体系处在用归一化波函数算符的本征函数系展开. 即
描述的状态. 且此波函数可以按力学量A 所对应的厄米认为
是归一的，则决定系数的表达式为_____。
_____。
（2）题（1）中设是算符的本征值，则力学量A 的平均值果的概率为_____。 【答案】（1）【解析】由题意考虑到正交归一化条件（2）
以及正交归一化条件
在上式两边乘以
有
并积分得
（3）题（1）中当对体系进行力学量A 测量时，测量结果一般来说是不确定的. 但测量得到某一结
【解析】由平均值定义式（3）
为确定
在上式两边乘以有
而概率应该为为定值.
2． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。
【答案】
3． 判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是_____。
【答案】当物理体系的作用量与A 相比拟时，该物理体系视为量子体系；当物理体系的作用量远大于时，视为经典体系。
4． 波函数的统计解释是：波函数在空间某一点处的_____和在该点扰到粒子的_____成正比。 【答案】强度；几率
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有
【解析】由题意考虑到正交归一化条件
并积分得
5．
一维谐振子升、降算符密顿量H 用N 或【答案】
、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与、a 的关系是 ; 哈
、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。
写出粒子在球壳
中被测到的几率_____。
6 用球坐标表示，．粒子波函数表为【答案】
二、选择题
7． 一维自由电子被限制在x 和
处两个不可穿透壁之间
，
埃，如果
是电子最低能
态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多少？（ ）
I 【答案】C
【解析】
一维无限深方势阱中能级公式为
由题意，基态能量为
则可知，
较高级能量与基态能量比值为
则第一激发态能量为
8． 正交归一性表示为_____，如果算符是厄米算符，则它满足_____。 【答案】
9． 中心力场中，算符的式子是（ ） A. B. C. D.
【答案】C
10．量子谐振子的能量是（ ）
.
【答案】A
【解析】
由于谐振子的哈密顿算符为
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的共同征函数为
则关于这两个算符的本征值方程正确
而本征值为n ，
于是谐振子能量为
11．
_____
_____
_____
_____
_____。
【答案】
12．量子力学中，体系的任意态_____，展开式系数_____。 【答案】
可用一组力学量完全集的共同本征态展开，展开式为
三、证明题
13．设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为
【答案】设在
或
证明这一点。
表象中，这自旋态的表示为：
则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：
根据题给条件，有：
由此得：即：
或
要么自旋朝下
和
即都为自旋分量的本征态。在
这就意味着，此态要么是自旋朝上
这两个本征态中，
测量自旋分量的平无值分别为
14．证明么正变换不改变算符的本征值。
【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：
由于相似变换不改变矩阵本征值，故
与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。
四、计算题
15．已知
【答案】
在的本征态下，计算的平均值。
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