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一、填空题

1． 对一个量子体系进行某一物理量的测量时，所得到的测量值肯定是_____当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的. 除非体系处于_____。 【答案】本征值；定态

【解析】物理量的测量值应该对应其本征值，对于非定态，由于它是各个本征态的混合态，这就导致物理量的测量值可以是它的各个本征值，测得各个本征值满足一定概率分布，只有当体系处于定态，即位于该物理量对应的本征态，测得值才有可能为确定值. 2 用球坐标表示，．粒子波函数表为写出粒子在球壳【答案】

中被测到的几率_____。

3． 普朗克的量子假说揭示了微观粒子_____特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的_____性。 【答案】粒子性；波粒二象性

【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量子假说

爱因斯坦后来将此应用到了光电效应

上，并因此获得诺贝尔奖，二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大贡献，这为量子力学的诞生奠定了基础.

4． 费米子组成的全同粒子体系的波函数具有_____，玻色子组成的全同粒子体系的波函数具有_____。

【答案】对称性；反对称性

5． 称_____、_____、_____等固有性质完全相同的微观粒子为_____。 【答案】质量；电荷；自旋；全同粒子 6．

为氢原子的波函数（不考虑自旋），【答案】主；角；磁；

分别称为_____量子

数、_____量子数、_____量子数，它们的取值范分别为_____、_____、_____。

二、选择题

7． 给出如下对易关系：

【答案】

8． 下列算符 【答案】

9． 中心力场中，算符的式子是（ ） A. B. C. D.

【答案】C

10．量子谐振子的能量是（ ）

.

【答案】A

【解析】

由于谐振子的哈密顿算符为

是线性算符的是_____。

的共同征函数为则关于这两个算符的本征值方程正确

而本征值为n ，

于是谐振子能量为

11．光子和电子的波长都为5.0埃，光子的动量与电子的动量之比是多少？（ ） A.1 B. C. D. 【答案】A

【解析】由德布罗意波长公式

12．一维自由电子被限制在x 和

波长相同则二者动量大小必定相同，因此答案选A. 处两个不可穿透壁之间

，

埃，如果

是电子最低能

态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多少？（ ）

I 【答案】C

【解析】

一维无限深方势阱中能级公式为

则可知，较高级能量与基态能量比值为

由题意，基态能量为

则第一激发态能量为

三、证明题

13．—粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设是束缚态的波函数，

相应的本征能量色试证明这两个波函数对应的态矢正交.

【答案】由题意

并在方程两边同时积分

有

考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有

又

则

设粒子本征波函数完备集为

则由正交归一化条件有

态矢为态矢为

即

Ⅳ、Ⅴ代入Ⅲ有

此即亦即两个波函数对应态矢正交.

14．粒子自旋处于

的本征态试证明

的不确定关系

：

【答案】易知

但是

（常数）

，所以有：

同理，可得

因此：

四、计算题