● 摘要
Molodtsov引入软集的概念,可作为通用的数学工具去处理不确定性问题.
本文关注模糊软集在一些代数结构和拓扑结构中应用的几个问题.
具体内容如下:
第一章主要介绍了格论、模糊集、模糊软集、模糊代数、
模糊拓扑和范畴论中的基本知识.
第二章将模糊软集在群结构、李代数和坡代数上得以应用.
先研究了反模糊软子群和伪模糊软子群， 给出了模糊软子群诱导的商群,然后
借助模糊软集的概念,
在李代数上定义了模糊软李子代数和模糊软李子代数间的模糊软同态,
对它们的并、交与和的性质进行了研究,
给出了模糊软李子代数的同态逆像定理和模糊软李子代数在
同态像下不是模糊软李子代数的反例.
最后, 在坡代数上定义了模糊软子坡的概念, 对它们的性质进行了研究,
此外,定义了坡代数上的模糊软子坡间的模糊软同态和模糊软同构
,给出了坡代数上的模糊软子坡的同构像定理和同态逆像定理,
证明了坡代数上的模糊软子坡范畴是坡代数范畴上的拓扑范畴.
第三章将模糊软集在拓扑结构上得以应用. 先研究了$(L,M)$-fuzzy
$(E,K)$-软闭包系统和$(L,M)$-fuzzy
$(E,K)$-软邻域系的关系,然后进一步研究了
Kubiak 和 u{S}ostak 的$(L,M)$-模糊拓扑和推广的史福贵的
$L$-模糊邻域系
(称之为$(L,M)$-模糊邻域系)的关系，
作为获得结果的应用,我们介绍了
$(L,M)$-模糊拓扑群的概念,这种模糊拓扑群推广了严从华等人定义的$I$-模糊拓扑群，
这样,我们能构得到$(L,M)$-模糊拓扑群不同的结果,
包括$(L,M)$-模糊拓扑群子群和商群, 我们也证明了
$(L,M)$-模糊拓扑群范畴是群范畴上的拓扑范畴.
第四章主要研究了范畴内部算子中的开态射. 设 $mathcal {C}$
是一个范畴, $mathcal {M}$ 是
$mathcal {C}$ 上的一类单态射使得 $(mathcal {E},mathcal
{M})$是一个恰当的保持的分解系统. $IN(mathcal {C},mathcal
{M})$,$CL(mathcal {C},mathcal {M})$ 和 $NO(mathcal {C},mathcal
{M})$ 分别记为范畴 $mathcal {C}$相对应$mathcal {M}$的
范畴内部算子、范畴闭包算子和范畴邻域算子的全体. 当满足一定条件和
适当的序关系给$IN(mathcal {C},mathcal {M})$,$CL(mathcal
{C},mathcal {M})$ 和 $NO(mathcal {C},mathcal {M})$,
可以证明它们彼此是完备类之间的同构.
最后给出了总结,同时指出进一步研究的问题.