● 摘要
作为研究量子力学的两个重要的代数系统, 正交模格与~Quantale 虽然具有一些相同的性质, 但又有所不同. 1991 年, ~Roman 和~Rumbos 构造了一个对象类包含~Quantale 的新范畴~--- Quantic 格范畴, 并且还指出对任意的正交模格~$L$, ~$a, bin L$, 令~$a&b riangleq(avee b^{ot})wedge b$, 则~$L$ 关于这一运算构成~Quantic 格. 因此, 对~Quantic 格的讨论既有助于了解正交模格的内部结构, 同时又在一定程度上丰富了~Quantale 理论的内容. 本文主要内容安排如下:
第一章 预备知识. 介绍了本文将要用到的~Quantic 格理论和模糊集理论中的基本概念和结论.
第二章 Quantic 格中的素元与~$S$-素元. 首先, 讨论了~Quantic 格与~Quantale 以及~Quantic 格与分配格的关系. 给出了左侧~Quantic 格~$Q$ 构成交换~Quantale 的充要条件是对任意的~$a, b, cin Q, a
ightarrow (b
ightarrow c)=b
ightarrow (a
ightarrow c)$. 其次, 讨论了~Quantic 格中素元的性质, 得到了素元的等价刻画. 最后, 给出了~Quantic 格中~$S$-素元的概念, 证明了~$S$-素元在满足一定条件的映射~$f$ 下的像是~$f(S)$-素元.
第三章 Quantic 格的理想与模糊理想. 首先, 将~Quantic 格中序与~$&$ 运算结合在一起, 给出了~Quantic 格中理想及其扩张的概念. 证明了~Quantic 格的理想和素理想在~Quantic 格同态下的原像仍是理想和素理想. 其次, 引入了模糊幂集~Quantic 格的概念, 得到了一个~Quantic 格是可换的, 则与其对应的模糊幂集~Quantic 格也是可换~Quantic 格的结论. 最后, 给出了~Quantic 格中模糊理想及其扩张的概念, 对它们的相关性质进行了研究.
第四章 Quantic 格中的上粗理想. 首先, 利用粗糙集理论的方法, 给出了~Quantic 格中上近似和下近似的定义, 讨论了它们的若干性质. 其次, 给出了~Quantic 格的上粗子~Quantic 格和上粗理想的概念. 证明了子~Quantic 格一定是上粗子~Quantic 格, 得到了理想是上粗理想的条件. 最后, 讨论了~Quantic 格同态和上粗理想之间的联系, 证明了上粗子~Quantic 格和上粗理想在~Quantic 格满同态下的原像仍是上粗子~Quantic 格和上粗理想.