2017年南昌航空大学综合试卷之概率论与数理统计教程复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设二维连续随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
试求
当
时,
由此得
2． 设二维随机变量
的联合密度函数为
中至少有一个发生的概率为
3． 设
是来自拉普拉斯（Laplace ）分布
的样本, 试给出一个充分统计量. 【答案】样本的联合密度函数为
取计量.
4． 设随机变量X 的密度函数为件{X≤1/2}出现的次数，试求P （Y=2）.
，其中【答案】因为Y 〜b （3，P ）
第 2 页，共 30 页
【答案】先求条件密度函数. 所以
求X 与Y
中至少有一个小于0.5的概率.
【答案】两事件
, , , 由因子分解定理, 为的充分统
以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事
所以
5． 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.8和0.7，现已知目标被击中，求它是甲射中的概率.
【答案】记事件A 为“目标被击中”，事件
所以
考虑到
故有
6． 设二维随机变量（X , Y ）服从区域Y 的协方差及相关系数.
【答案】因为区域D 的面积为1/2, 所以（X , Y ）的联合密度函数为
由此得X 和Y 各自的边际密度函数为 当0 由此可算得X 与Y 的期望与方差 另外还需计算XY 的期望 由此得X 与Y 的协方差及相关系数为 7． 设二维随机变量（x ，y ）的概率密度为及条件概率密度 【答案】由题设可知 于是 。 ，求常数A 上的均匀分布, 求X 与 为“甲射中目标”，事件 为“乙射中目标”.因为 第 3 页，共 30 页 X 的边缘概率密度为 于是当时，条件概率密度 8． 甲掷硬币n+1次，乙掷n 次. 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率. 【答案】记 又记 由于正反面的地位是对称的，因此P （E ）=P（F ）. 又因为 所以由 得P （E ）=0.5. 此题的求解过程中利用了出现正反面的对称性. 在古典方法确定概率的过程中，对称性的应用是很常用的. 事实上，确定概率的古典方法中所谓“等可能性”，就是要使样本点处于“对称”的地位. 利用对称性的优点是可以简化运算、避开一些繁琐的排列组合的计算. 此题若直接用排列组合来计算，则相当繁琐，具体过程见下： 因为甲掷n+1 次硬币共有 种可能，乙掷n 次硬币共有种可能， 因而样本点的总数为 则所求概率 又记乙掷出k 个正面，甲掷出k+1个正面， P （甲掷出的正面数>乙掷出的正面数） 注意：如果将甲掷n+1次改成掷n+2次，乙仍掷n 次，则“甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多”的概率可见下题. 二、证明题 9． 设（ 【答案】 ）是充分统计量. 的联合密度函数为 第 4 页，共 30 页 , 诸独立, 是已知常数, 证明