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一、计算题

1． 某人每天早上在汽车站等公共汽车的时间（单位：mk ）服从均匀分布假设的先验分布为‘求后验分布.

【答案】

与的联合分布为

此处

于是的后验分布为

2． 从数字1，2，…，9中可重复地任取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率.

，【答案】记事件A 为“至少取到一次5”，事件B 为“至少取到一次偶数”，则所求概率为P （AB ）因为

所以

下表对一些不同的n ，给出P （AB ）的值：

表

从上表可以看出：P （AB ）是随着n 的増加而增加的，直至趋向于1，这是符合人们直观感觉的.

3． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

求X 与Y 的协方差及相关系数. 【答案】先求X 与Y 的期望与方差

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，其中未知，

假如此人在三个早上等车的时间分别为5, 3, 8min ，

所以与的联合分布为

所以

又因为

所以X 与Y 的协方差及相关系数为

4． 写出下列随机试验的样本空间：

（1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子；

（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；

（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球；先从中取出一个，放回后再取出一个；（5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球；先从中取出一个，不放回后再取出一个.

【答案】

⑴共含有

（2）

（3）（4）（5）

5． 设

个样本点，其中0表示反面，1表示正面，（3）中的0与1也是此意.

共含有

个样本点.

共含有可列个样本点.

{黑黑，黑白，黑红，白黑，白白，白红，红黑，红白，红红}. {黑白，黑红，白黑，白红，红黑，红白}. 是来自几何分布的样本，总体分布列为

θ的先验分布是均匀分布U （0，1）. （1）求θ的后验分布；

（2）若4次观测值为4, 3, 1，6, 求θ的贝叶斯估计. 【答案】（1）样本和θ的联合密度函数为

于是

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因此，θ的后验分布为

（2）当有观测值为4, 3, 1，6时，θ的后验分布为Be （5, 15）, 若采用后验期望估计，

则有

6． 切尾均值也是一个常用的反映样本数据的特征量, 其想法是将数据的两端的值舍去, 而用剩下的当中的值来计算样本均值, 其计算公式是是切尾系数

的学习情况, 以下数据是大学生每周用于看电视的时间:

取

试计算其切尾均值.

当

. 时, 由题意得, 切尾均值

7． 盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，以X 表示取到黑球的个数，以Y 表示取到红球的个数，试求P （X=Y）.

【答案】

8． 一个系统由多个元件组成，各个元件是否正常工作是相互独立的，且各个元件正常工作的概率为p. 若在系统中至少有一半的元件正常工作，那么整个系统就有效. 问p 取何值时，5个元件的系统比3个元件的系统更有可能有效？

【答案】记X 为5个元件的系统中，正常工作的元件数；Y 为3个元件的系统中，正常工作，Y 〜b （3，p ）. 的元件数. 则X 〜b （5，p ）

对X 而言，系统有效的概率为

对Y 而言，系统有效的概率为

根据题意，求满足下式的P :

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, 其中

是有序样本. 现我们在某高校采访了16名大学生, 了解他们平时

【答案】将样本进行排序得