2017年闽南师范大学数学与统计学院615分析与代数之高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同.
2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
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分别为A ，B 的伴随矩阵，
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
3． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0
的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
4． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
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）
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为所以向量组线性无关.
5． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 线性无关. 二、分析计算题 6． 设A 为顺序主子式都不是0的n 阶方阵. 证明：A 可唯一分解成A=FDS, 其中D 为可逆对角方阵，F 与S 分别为主对角线上元素全是1的下与上三角形方阵. 【答案】由上题知，A 可分解为可逆下、上三角形方阵B , C 之积. 于是 即得. 第 4 页，共 44 页
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