2018年中国海洋大学信息科学与工程学院638量子力学考研基础五套测试题
● 摘要
一、简答题
1． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】
利用
的几率密度；
表示粒子在
如何归一化？解释各项的几率意义。
进行归一化，其中
：
处
的几率密度。
它的本征值表示粒子在
|
处
2． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数
已知：另一部分
很小，可以看作是加于
上的微扰. 写出在非简并
状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】
一级修正波函数为二级近似能量为其中
二、计算题
3． —体系未受微扰作用时只有三个能级：能量至二级修正。
【答案】至二级修正的能量公式为
其中
分别为一级和二级修正能量. n=1时，将m=2, 3代入II 式得
n=2时，将m=l, 3代入II 式可得
n=3时，将m=l, 2代入II 式可得
现在受到微扰
的作用，
微扰矩阵元为和c 都是实数. 用微扰公式求
再分别由I 式、III 式、IV 式和V 式可得
4． 粒子的一维运动满足薛定愕方程：（1）若
是薛定谔方程的两个解，证明
与时间无关.
（2）若势能V 不显含时间t ，用分离变数法导出不含时的薛定谔方程，并写出含时薛定谔方程的通解形式. 【答案】⑴
取式（1）之复共轭，得
得
对全空间积分： 即
所以与时间无关. （2）设
代入薛定谔方程，分离变量后，得E 为既不依赖t , 也不依赖r 的常数. 这样，所以
因此，通解可以表示为其中，
是满足不含时的薛定谔方程
5． 求一宽度为a 且关于原点对称的一维无限深势阱中粒子的坐标在能量表象中的矩阵元. 【提示：
【答案】【注：题中所给积化和差公式有误，正确的积化和差公式为在势阱内有定态方程
处于定态时有
则有
由于势函数满足（1）满足偶宇称时有则
设
则波函数满足奇宇称或偶宇称.
注意到①有
有
注意到波函数乘以一个常数描述的仍为同一个状态，则（2）同理，对奇宇称有
】
】
再考虑到归一化条件
综合（1）（2）讨论有波函数
本征能量矩阵元即
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