2017年上海市培养单位上海光学精密机械研究所811量子力学考研冲刺密押题
● 摘要
一、填空题
1． 微观粒子的状态由波函数描述，波函数一般应满足的三个条件是_____、_____、_____。 【答案】连续性；有限性；单值性 2．
为氢原子的波函数（不考虑自旋），【答案】主；角；磁；
3． 玻恩关于波函数统计解释的基本论点是_____。
分别称为_____量子
数、_____量子数、_____量子数，它们的取值范分别为_____、_____、_____。
【答案】物质的本源是粒子；波动性是指微观粒子处于某一物理量值的统计几率 4 用球坐标表示， 粒子波函数表为写出粒子在球壳中被测到的几率_____。．【答案】
5． 一质量为的粒子在一维无限深方势阱为_____, 能级表达式为_____。 【答案】
6． —粒子的波函数为【答案】
中运动，其状态波函数
写出粒子位于间的几率的表达式_____。
二、简答题
7． 写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:
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8． 有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。
【答案】不同意。因为为实函数，但可以为复函数。
9． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
10．将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据
对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于
粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
11．如果算符表示力学量那么当体系处于的本征态时，问该力学量是否有确定的值？ 【答案】是，其确定值就是在本征态的本征值。
12．写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为
13．试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。
【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。
14．请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
其中，
定义电子的自旋算符，并验证它们
的对易关系.
三、证明题
15．假设A 、B 、C 是三个矩阵，证明【答案】
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所以
16．试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。 【答案】设可得：
（其中
为幺正变换，则:
）
可见，本征值不变。
四、计算题
17．在
表象中，求自旋算符
在
表象中的矩阵表示为：
则
的本征方程为：
a 、b 不全为零的条件是久期方程：
解得：故
的本征值为：时的本征函数为：
时的本征函数为：
将本征值代入①式，可得：
方向投影算符
的本征值和相应的本征态。
【答案】在
18．假设一个定域电子（忽略电子轨道运动）在均匀磁场中运动，磁场B 沿z 轴正向，电子磁矩在均匀磁场中的势能
：
表示；
（1）求定域电子在磁场中的哈密顿量，并列出电子满足的薛定谔方程：电子轨道运动，
此时T=0。
求t ＞0时，自旋的平均值。提示：
提示：忽略
这里
为电子的磁矩；
自旋用泡利矩阵
（2）假设t=0时，电子自旋指向x 轴正向，即
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