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2017年西安交通大学前沿科学技术研究院722量子力学考研题库

  摘要

一、简答题

1. 如果算符

表示力学量那么当体系处于

的本征态时,问该力学量是否有确定的值?

【答案】是,

其确定值就是在本征态的本征值。

2. 如果一组算符有共同的本征函数,且这些共同的本征函数组成完全系,问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易? 【答案】不妨设这组算符为

.

则对任意波函数

完全系为有:

可见,这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

3. 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后,所描写的体系量子状态是否改变? 【答案】不改变。根据

对波函数的统计解释,描写体系量子状态的波函数是概率波,由于

粒子必定要在空间中的某一点出现,所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1,因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。

4. 现有三种能级【答案】

请分别指出他们对应的是哪些系统。

对应一维无限深势阱;

对应

依题意

对应中心库仑势系统,例如氢原子;

一维谐振子.

5. 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点?

【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的,它们的对称性不随时间变化。

6. 试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。

【答案】对于粒子,共同点是颗粒性,即是具有一定质量、电荷等属性的客体;不同点是经典粒子遵循经典决定论,沿确定轨道运动,微观粒子不遵循经典决定论,无确定轨道运动。 对于波,共同点是遵循波动规律,具有相干迭加性;不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量,它只是一种几率波。

7. 什么样的状态是定态,其性质是什么?

【答案】定态是能量取确定值的状态,其性质:定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变

8. 自旋可以在坐标表象中表示吗?

【答案】自旋是内禀角动量,与空间运动无关,故不能在坐标空间表示出来。

9. 斯特恩—革拉赫实验证明了什么? 【答案】(1)半整数内禀角动量在存在。 (2)空间量子化的事实。

(3)电子自旋磁矩需引入2倍关系。

10.放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来,你认为这与什么量子效应有关?

【答案】与量子隧穿效应有关。

二、计算题

11.

若有已归一化的三个态交,归一的新的态矢量

【答案】因为设由

所以

和]

贝IJ :

得:

同理,设由

代入上式,得:

故:

12.力学量在自身表象中的矩阵表示有何特点?

【答案】力学量在自身表象中的矩阵是对角的,对角线上为的本征值。

则:

因此:

且有

试用Schmidt 方法构成正

13.考虑在无限深势阱(0<x <a )中运动的两电子体系,略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的相互作用,写出体系的基态和第一激发态的波函数和能量,并指出其简并度。 【答案】二电子体系,总波函数反对称。一维势阱中,体系能级为:

(1)基态:

空间部分波函数是对称的

:自旋部分波函数是反对称的:总波函数为:

(2)第一激发态:空间部分波函数:

自旋部分波函数:

二电子体系的总波函数为:

基态不简并,第一激发态是四重简并的。

14.空间中有一势场射)。 (1)写出

时,被散射粒子的渐近波函数

的表达式;如果已知散

它在

时趋于零. 一质量为m 的自由粒子被此势场散射(弹性散

(2

)从被散射粒子的渐近波函数读出散射振幅