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一、简答题

1． 扼要说明：

（1）束缚定态的主要性质。

（2）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

【答案】（1）能量有确定值。力学量（不显含f ）的可能测值及概率不随时间改变。 （2）选择定则：

理论根据：电矩m 矩阵元

2． 如果算符表示力学量那么当体系处于

的本征态时，问该力学量是否有确定的值？

【答案】是，

其确定值就是在本征态的本征值。

3． 波函数是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？么？

的物理含义是什

【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。表示在时刻附近

4． 写出在表象中的泡利矩阵。 【答案】

体积元中粒子出现的几率密度。

5． 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？

【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的

每条光谱线都分裂为

条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外

电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。

6． 什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？

【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.

问

是否

7． 自旋可以在坐标表象中表示吗？

【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。

8． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量

用算符表示，

当体系处于某个能量态

的作用是得到这一本征值，即

当体系处于一般态

的本征态

时，算符对

的作

时，算符对态

，即用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率）

9． 在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？ 定值。

10．试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。

【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确

【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。

二、计算题

11．粒子的一维运动满足薛定愕方程：（1）若

是薛定谔方程的两个解，证明

与时间无关.

（2）若势能V 不显含时间t ，用分离变数法导出不含时的薛定谔方程，并写出含时薛定谔方程的通解形式. 【答案】⑴

取式（1）之复共轭，得

得

对全空间积分： 即

所以与时间无关. （2）设

代入薛定谔方程，分离变量后，得E 为既不依赖t , 也不依赖r 的常数. 这样，所以

因此，通解可以表示为其中，

12．一自由的三维转子的Hamiltonian

为（1）求能谱与相应的简并度； （2）若给此转子施加以微扰已知：

【答案】（1）显然，哈密顿算符与本征值对应， 故三维转子能谱

（2）转子在基态非简并时，故

是满足不含时的薛定谔方程

式中，是轨道角动量算符，1是转子的转动惯量。

求基态能级移动（直至二阶微扰）.

其中1为轨道角动量量子数，其简并度为21+1 .

一级修正能量

故由微扰引起的能级移动为

二级修正能量

13．—个自旋为1/2的粒子在三维各向同性的谐振子势中运动，求其基态和第一激发态的能量、波函数和相 应简并度。已知质量为的无自旋粒子在一维谐振子势（频率为）中运动的波函数为基态

第一激发态

【答案】三维各向同性的谐振子可作分离变量求解，分别为三个方向的一维谐振子运动的并合。 基态为三个方向都在基态，加上自旋自由度可得波函数为：