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一、简答题

1． —个量子体系处于定态的条件是什么？

【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。

2． 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？

【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的

每条光谱线都分裂为

条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外

电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。

3． 什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？ 【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。

选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：圆偏光选择定则：

4． 坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为

5． 现有三种能级【答案】

测不准关系为

请分别指出他们对应的是哪些系统。

对应一维无限深势阱；

对应

对应中心库仑势系统，例如氢原子；

一维谐振子．

6． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据

对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于

粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。

7． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符

8． 什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？

其中，

定义电子的自旋算符，并验证它们

问是否

【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.

9． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，

能量

用算符表示，

当体系处于某个能量

态

的作用是得到这一本征值，即

当体系处于一般态

的本征态

时，算符对

的作

的物理含义是什时，算符对态

，即用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率）

10．波函数是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？么？

【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。

表示在时刻

附近

体积元中粒子出现的几率密度。

二、计算题

11．在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。 【答案】在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为：在动量表象中，该哈密顿算符为：

由于动量的本征函数为

故哈密顿算符的矩阵元为：

12．—质量为m 的粒子限制在宽度为2L 的无限深势阱当中运动. 势阱为现在势阱的底部加一微扰态的能量。

【答案】未施加微扰前，粒子本征波函数以及相应本证能量为

显然为非简并态。

微扰为

故

由

故激发态的一级近似能量为

13．己知氢原子的径向波函数（1）求归一化常数A. （2）己知连带勒让德函数

（3）对于本征态【答案】⑴（2） 所以

|

本征函数可以表示为

求氢原子的归一化本征函数

其对应的能量、角动量、角动量z 分量各是多少？

其中a 为波尔半径.

其中

试利用一阶微扰理论计算第n 激发