当前位置：问答库＞考研试题

一、选择题

1． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

2． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B. 再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式得

则A 与B （ ）.

所以A 的特征值为3，3，0；而

则A 与B （ ）.

使

因此A 与B 合同.

3． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B*

第 2 页，共 46 页

分别为A ，B 的伴随矩阵，

B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

即

4． 设

其中A 可逆，则A. B. C. D. 【答案】C

=（ ）.

【解析】因为

5． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

若选故选B.

第 3 页，共 46 页

中选三个向量组

从而否定A ,

若选从而否定C ,

二、分析计算题

6． 设A ，B 分别为

证明：【答案】由的，则

和

行满秩实矩阵，m+s=n，而

是半正定矩阵.

是

矩阵，故正定. 因为

所以D 半正定. 由阵.

方法5矩阵分解法等如果矩阵A 有分解式：半正定.

一般地，如果矩阵A 能分解成若干个简单矩阵的和、积等，则可能将问题化难为易，矩阵分解也是一种解决问题的方法.

7． 设a ，b 是两个复数，令

那么【答案】是映射. 若

是 单射. 显然

且记

令

故是满射，从而是双射

.

因为

所以

8． 设

（1）如果（2）如果【答案】（1）因为组合. 由

（2）对任一

可推出

由

是同构映射，

则

设

于是

那么

故

都是

的子空间，证明：

故

则C 列满秩时，A 正定；C 行满秩时，A

正定，D 半正定，故

半正定，即

是半正定矩

是半正定矩阵. 由B 是行满秩

是列满秩的，故

是欧氏空间V 的一组基，证明： 使

对任一

有因此

可得

第 4 页，共 46 页

那么 那么

都是由（1）得

的线性

是欧氏空间的一组基，对任一

得