2017年鲁东大学数学与统计科学学院811高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
2． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
3． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
是不定二次型，故选B.
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使AB=0, 则（ ）
.
由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
时，
中选三个向量组
从而否定A ,
若选从而否定C ,
是（ ）二次型.
方法2 设二次型矩阵A ，则
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
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则A 与B （ ）.
使
且由①式得
因此A 与B 合同.
二、分析计算题
6． 求一个x 次方程使
【答案】
7． 设
是任意常数.
为欧氏空间V 的标准正交基，
且显有
与
求正交变换H , 使
【答案】首先化，得V 的正交基
昀为V 的基. 将它们分别正交
与
再单位化得标准正交基
与取线性变换
8． 设式. 则有
因此
表示D 的转置行列式. 因为D 的每个元素都等于它的代数余子式，所以
则H 为正交变换，且满足
中元素均为实数，而且至少有一个不是0, 如果D 的每个元素都等于它的代数余子
【答案】记
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