北京大学计算机数学基础2009年考研试题研究生入学考试试题考研真题
● 摘要
北京大学2009年硕士研究生入学考试试题 考试科目：计算机数学基础 考试时间：2009.1.12
招生专业：计算机科学与技术 研究方向：
说明：答题一律写在答题纸上（含填空题、选择题等客观题），写在此页上无效。
高等数学部分（共60分）
1 （10分）f (x ) =∫x
0e dt ，求极限lim h →0
x
0t 2f (x +h ) −f (x −h ) 。 h ∫2 （10分）求极限lim x →0(tf (u ) du ) dt x 3sin x 。
3 （10分）lim x →0x f (2x ) =2，求lim 。 x →0f (3x ) x
4 （10分）f (x ) 在[a , b ]内连续，在(a , b ) 内可导，b >a >0，证明：(a , b ) 内存在一点ξ，使得f (b ) −f (a ) =f ′(ξ) 2(b −a 2) 。 2ξ
5 （10分）f (x ) 在[a , b ]内连续且单调递增，证明：(a , b ) 内存在一点ξ，使得f (x ) 与x =a ，x =ξ及x 轴所围的面积S 1是f (x ) 与x =ξ，x =b 及x 轴所围的面积S 2的3倍。 6 （10分）∑b
n =1∞n 是收敛的正项级数，∑(a n =1∞n −a n +1) 收敛，试讨论∑a n b n 的收敛性，并n =1∞
说明理由。
集合论和图论部分（共60分）
1 （15分）请叙述集合运算吸收律并证明（证明其中一条即可）。
2 （15分）A 是集合，A 上划分之间的加细关系是什么？请证明A 上划分之间的加细关系是偏序关系。
3 （15分）请证明强连通的竞赛图一定是哈密顿图。
4 （15分）请叙述并证明五色定理。
代数结构部分（共30分）
1 （20分）请回答下列各题。
（1）a ，b 是实数，请指出如下四个二元运算中哪个既是可交换的又是可结合的。
A 、a *b =a +2b ；B 、a *b =a +b −ab ；C 、a *b =a ；D 、a *b =|a +b |。
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