北京大学计算机数学基础2005年考研试题研究生入学考试试题考研真题
● 摘要
启用前机密 北京大学2005年硕士生研究生入学考试试题 考试科目：计算机数学基础 考试时间：2005年1月23日上午
招生专业：计算机科学与技术 研究方向：
说明：答题一律写在答题纸上（含填空题，选择题等客观题），写在此页上无效
一．高等数学部分（共70分）
1．（8
分）求。 n 2．（10
分）设arctan y =，求y ' ，y '' 。 x
3．（每小题8分，共16分）求下列不定积分
(1)∫x
(2)∫cos x ln xdx
4．（8分）求∫−2n π|e 1d 1cos(ln) |dx ，其中n 为自然数。 dx x
5．（8分）若0<β≤α<π
2，试证：
α−βα−β≤tan α−tan β≤ 22cos βcos α
6．（10分）求∑n x 2
n =1∞n 。
7．（10分）设曲线y=f(x)是x ≥0上的非负连续函数，V （t ）表示由y=f(x)，x=0，x=t（t>0）
d 2v (t ) =2πf (t ) 。 和y=0所围成的图形绕直线x=t旋转而成的旋转体体积。试证明：2dt
二．离散数学部分（共80分）
1．（10分）叙述并证明集合运算的吸收律（其中一条即可）。
2．（10分）在二个元素的集合上，有多少种不同的二元关系？写出其中等价关系对应的划分，画出其中偏序关系的哈斯图，画出其中全函数的关系圈。
3．（10分）在一群人中，说同一方言的人可直接对话，不说同一方言的人也可能通过其他人的翻译来间接对话。下列两个条件等价吗？为什么？
条件一：这群人中任何两人都能直接或间接对话。
条件二：无论怎样把这群人分成两组，总能在两组中各找出一人，这二人能直接对话。
4．（10分）地球上是否存在这样五个国家，其中每个国家都是一块连通的区域，任何两个国家之间至少有一段公共边界？为什么？
5．（10分）一只老鼠吃3×3×3立方体的奶酪。方法是借助于打洞通过所有27个1×1×1子立方体。如果它在一个角上开始，然后依次走向未吃的子立方体。问它吃完时能否在立方体的中心？为什么？
6．（10分）判断下列集合A 和二元运算*是否构成代数系统，其中Z ，R 分别代表整数和实数集合。如果构成代数系统V ，说明*运算是否满足交换律，结合律，幂等律。如果V 中有
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