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一、证明题

1． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为

证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为所以，

，则

与的联合分布为

即成功概率p 的后验分布为塔分布族.

2． 设存在，且N 与

，故成功概率p 的共轭先验分布族为贝

为独立同分布的随机变量序列，且方差存在. 随机变量只取正整数值，独立. 证明:

【答案】因为

所以

3． 设随机向量

【答案】记标准化变量为

因为考虑到

故

所以

的协方差阵的行列式为

再由协方差阵的非负定性，可得

移项即得结论.

4． 设随机变量X 与Y 相互独立，且方差存在. 证明:

【答案】

5． 设总体概率函数是对

的任一估计

令

人们只需要考虑基于充分统计量的估计.

【答案】我们将均方误差作如下分解

注意到

，这说明

于是

因而

间的相关系数分别为

证明:

是其样本，，证明

:

是的充分统计量，则

. 这说明，在均方误差准则下，

.

6． 设随机变量X 取值

【答案】

的概率分别是. 证明

:

7． 设和方差,

（2）当

【答案】 （1）由由于X 的概率密度为

所以

由此证得（2）由

由于

, 所以

知从而将①, ②代入

可得

① ②

与

相互独立知,

与

也相互独立, 从而

①此外, 由

是来自总体x 的简单随机样本,

, 证明:

相互独立知,

也相互独立,

所以

时,

分别为样本的均值

（1）当X 服从数学期望为0的指数分布时,

从而得到目的最大似然估计量为