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一、简答题

1． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符

2． 现有三种能级【答案】

请分别指出他们对应的是哪些系统。

对应一维无限深势阱；

对应

其中，

定义电子的自旋算符，并验证它们

对应中心库仑势系统，例如氢原子；

一维谐振子．

3． 简述波函数的统计解释。

【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

4． 能级的简并度指的是什么？

【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。

5． 什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？

【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.

6． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】

利用

的几率密度；

表示粒子在

如何归一化？解释各项的几率意义。

进行归一化，其中

：

处

的几率密度。

表示粒子在

|

处

问

是否

7． 什么是塞曼效应？什么是斯达克效应？

【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象；斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。

8． 扼要说明：

（1）束缚定态的主要性质。

（2）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

【答案】（1）能量有确定值。力学量（不显含f ）的可能测值及概率不随时间改变。 （2）选择定则：

理论根据：电矩m 矩阵元

9． 写出在表象中的泡利矩阵。 【答案】

10．完全描述电子运动的旋量波函数为

分别表示什么样的物理意义。

【答案

】

表示电子自旋向

下

表示电子自旋向上

的几率。

位置

在

处的几率密度

；

试述

及

二、证明题

11．设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下，【答案】设束缚定态为

即有：

因A 不显含时间t , 所以

12．（1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数. （2）证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. （3）对于角动量算符

证明它是厄米算符，并且求解其本征方程.

因而有：

【答案】（1）证：对于厄米算符

因为存在

数

（2）证：因为而（3）因为

所以

即正交

而

所以

设本征方程为

其中为本征值，上式可改写为

易解出即为厄米算符。

具有周期性，

所以

即本征值为实

C 为积分常数，可由归一化条

件决定. 又因为波函数满足周期性边界条件的限制，

由此可得数记为

即为其本征函数. 相应的本征方程为

即角动量z 分量的本征值为

是量子化的，相应本征函

再利用归一化条件可得

三、计算题

13．在并将矩阵

的共同表象中，算符4的矩阵为对角化.

其中本征函数：

求

的本征值和归一化的本征函数，

【答案】（1）设的本征方程为：

容易解得的本征值和相应的本征态矢分别为

（2）将

表象中

的三个本征矢并列，得到从

表象到表象变换矩阵