2017年河北经贸大学概率论与数理统计(同等学力加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 设圆的直径服从区间（0，1）上的均匀分布，求圆的面积的密度函数.
【答案】设圆的直径为X ，则圆的面积
而X 的密度函数为
因为且
在区间（0，1）上为严格单调增函数，其反函数为所以圆面积
的密度函数为
2． 已知离散随机变量X 的分布列为
表
1
试求【答案】
的分布列. 的分布列为
表
2
的分布列为
表
3
3． 甲口袋有1个黑球、2个白球，乙口袋有3个白球. 每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口袋. 求交换n 次后，黑球仍在甲口袋中的概率.
【答案】设事件且
所以由全概率公式得
得递推公式
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为“第i 次交换后黑球仍在甲口袋中”，记
则有
将
代入上式可得
由此得
4． 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且
【答案】因为
5． 设
是来自
所以
的一个样本，对如下的检验问题
已给出拒绝域
（1）求此检验的势函数；
（2）若要求检验犯第一类错误概率不超过0.05（即（3）若在（2
）的要求下进一步要求检验在
），n 至少要取多少？
（4）如今n=20，
对此检验问题作出判断.
可见，在
时，势函数
是的严增函数.
，故由题意知，应有
由于
是增函数，故
在
处达到最大值，故只要使
即可实现，由此解出
譬如，在n=5时，c=0.4949; n=10时，c=0.4974.
由题意知，要求在可得
可见，若取n=10即可使
处犯第二类错误的概率不超过0.02.
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试求
其中为样本的最大次序统计量.
）. 如何确定c?
处犯第二类错误的概率不超过0.02
（即
【答案】（1）此检验的势函数为
（2）在成立下，犯第一类错误的概率为
（3）在备择假设成立下，犯第二类错误的概率为
若把（2）中的
代入，
处有即
（4）如果样本量n=20，则其拒绝域为
如今
故不应拒绝原假设
这个结果与（2）定出的精确值较为接近.
6． 写出下列随机试验的样本空间：
（1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子；
（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；
（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球；先从中取出一个，放回后再取出一个；（5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球；先从中取出一个，不放回后再取出一个.
【答案】
⑴共含有
（2）
（3）（4）（5）
个样本点，其中0表示反面，1表示正面，（3）中的0与1也是此意.
共含有
个样本点.
共含有可列个样本点.
{黑黑，黑白，黑红，白黑，白白，白红，红黑，红白，红红}. {黑白，黑红，白黑，白红，红黑，红白}.
7． 在长为a 的线段的中点的两边随机地各选取一点, 求两点间的距离小于a/3的概率.
【答案】记X 为线段中点左边所取点到端点0的距离, Y 为线段中点右边所取点到端点a 的距离, 则
且X 与Y 相互独立, 它们的联合密度函数为
而P （x , y ）的非零区域与
的交集为图阴影部分, 因此, 所求概率为
图
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