2018年中国地质大学地质过程与矿产资源国家重点实验室601高等数学之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
2．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
3． 已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ）求【答案】
的基础解系
.
有无穷多解，矩阵
A
的特征值是
1, -1, 0, 对应的特征向
当a=-1及a=0时
，方程组均有无穷多解。
当a=-l时
，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
（Ⅱ）
4．
设n 维
列向
量
【答案】记
线性无关
，其中S 是大于2的偶数. 若矩阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得，由
线性无关，得
知
的基础解系
，即为
的特征向量
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
从而组的基础解系为数.
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解，即①的通解为
对应齐次方程A 为任意常
二、计算题
5． 写出下列二次型的矩阵：
（1）
【答案】⑴记故
f 的矩阵为
则
（2）与（1
）相仿，
故f 的矩阵为
6． 求一个正交变换把二次曲面的方程
【答案】记二次曲面为f=l, 则f 为二次型，它的矩阵为
由
所以A 的特征值为对应于
解方程Ax=0, 由
化成标准方程.
相关内容
相关标签