2018年中国地质大学地质过程与矿产资源国家重点实验室601高等数学之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
线性无关.
求
是3维非零列向量，若线性无关；
且
非零可知，
是A 的个
令
故
2． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以B 的n
个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1
重特征值
对于n-1
重特征值由于矩阵（0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可
知n
阶矩阵
与相似.
3． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
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实对称矩阵，所以必可对角化
，且秩
于是
那么矩阵A 的特征值为
：1
（k 个），-1（n-k 个）. 故二次型
（Ⅱ）因为
4．
设三阶方阵A
、B 满足式
的值
.
故
的规范形为
所以矩阵B
的特征值是：
由于B
的特征值全大于0且B 是对称矩阵，
因此B 是正定矩阵
，且
其中
E 为三阶单位矩阵
.
若求行列
【答案】
由矩阵
知则. 可
逆. 又
故即
所以即而
故
二、计算题
5． 设
是m
阶矩阵
的特征值，
证明也是n 阶矩阵BA 的特征值.
特征向量
有
【答案】根据特征值的定义证明.
设A 是矩阵AB 的任-非零特征值，是对应于它的特征向量
. 即有用矩阵B
左乘上式两边，
得
若再由
则由特征值定义知
，为BA 的特征值. 下面证明.
式得
因此
事实上，由