2018年东北师范大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1．
设总体
【答案】令
，则
对上式求导易知，当
2． 若因为
所以有
3． （1）设分布函数
其中
与
分别为总体的分布函数与密度函数.
时，样本极差
的分布函数.
做变换于是
与
其逆变换为
的联合密度为
由此可以算得
的边际密度为
的分布函数为
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是样本
，的矩估计和最大似然估计都是它也是的相
合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.
时上式达到最小，最小值为
.
，它小于的均方误差.
，证明:对任一事件B , 有
，所以由单调性知
【答案】因为，从而得，又
，即得
和
.
的
分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量，证明极差
（2）利用（1）的结论，求总体为指数分布【答案】（1）
与
的联合密度函数为
雅可比行列式绝对值为
（2）对于指数分布
由（1）中结果，有
4． 证明:对任意常数c , d , 有
）
【答案】
由
得
因而结论成立.
5． 设X 为非负连续随机变量，证明:对x ≥0,
有
【答案】设X 的密度函数为p （X ），则有
6． 设随机变量变量.
【答案】
令
两边取对数，并将
展开为级数形式，可得
所以
而
正是
的特征函数，由特征函数的唯一性定理及判断弱收敛
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.
证明:当时，随机变量
则由X 的特征函
数
按分布收敛于标准正态
可
得
的方法知结论成立.
7． 设为独立同分布的随机变量序列，且方差存在. 随机变量只取正整数值，存在，且N 与
独立. 证明:
【答案】因为
所以
8． 设X 为非负随机变量，a>0.
若
【答案】因为当a>0时
，
存在，证明:对任意的x>0,
有
是非负不减函数，所以由上题即可得结论.
二、计算题
9． 口袋中有n-l 个黑球和1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一个黑球. 问第k 次摸球时，摸到黑球的概率是多少？
【答案】记事件
为“第k 次摸到黑球”，因为计算
较难，故先计算
. 由于口袋
中只有一个白球，而摸到球后换入的都是黑球，所以如果第k 次摸到白球球数不变，故
10．连续地掷一颗骰子80次，求点数之和超过300的概率.
【答案】记则
为第i 次投掷时出现的点数，
且
，则前面k 一1次
一定不能摸到白球，即前面k 一1次都摸到黑球，而换入的仍为黑球，即每次摸球时黑球数和白
由林德伯格-莱维中心极限定理，所求概率为
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