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一、选择题

1． 正交归一性表示为_____，如果算符是厄米算符，则它满足_____。 【答案】

2． （1）

_____；（2）

_____。

【答案】

3． 角动量算符满足的对易关系为【答案】

4． 中心力场中，算符的式子是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

5． 量子力学中，体系的任意态_____，展开式系数_____。 【答案】

6． 设粒子处于态系数的取值为_____【答案】

的可能值为_____

_____，坐标和动量的对易关系是_____。

的共同征函数为

则关于这两个算符的本征值方程正确

可用一组力学量完全集的共同本征态展开，展开式为

为归一化波函数的平均值为_____。

为归一化的球谐函数，则

二、简答题

7． 现有三种能级【答案】

请分别指出他们对应的是哪些系统。

对应一维无限深势阱；

对应

对应中心库仑势系统，例如氢原子；

一维谐振子．

8． 自发辐射和受激辐射的区别是什么？

【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；

受激辐射是处于激发能级

低能级的。

9． 写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为

10．—个量子体系处于定态的条件是什么？

【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。

11．能级的简并度指的是什么？

【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。

12．请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符

其中，

定义电子的自旋算符，并验证它们

的对易关系.

的原子被一个频率为

的光子照射，受激发而跃迀到较

同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机

13．什么是隧道效应，并举例说明。

【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。

14．试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.

叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.

为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合

15．如果算符表示力学量那么当体系处于的本征态时，问该力学量是否有确定的值？

【答案】是，其确定值就是在本征态的本征值。

16．写出电子在外电磁场中的哈密顿量。 【答案】

三、证明题

17．—粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设相应的本征能量色【答案】由题意

并在方程两边同时积分

又

则

则由正交归一化条件有

有

考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有设粒子本征波函数完备集为

试证明这两个波函数对应的态矢正交.

是束缚态的波函数，

态矢为态矢为

即

Ⅳ、Ⅴ代入Ⅲ有

此即亦即两个波函数对应态矢正交.

18．证明，

【答案】因为

可得：

四、计算题