2018年大连海洋大学食品科学与工程715高等数学Ⅱ之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
设矩阵.
【答案】
求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角
于是A 的3
个特征值为（Ⅰ）当
且
时，A 有3个不同特征值，故4可对角化，且可对角化为
（Ⅱ）当a=0时
，
此时A 有二重特征值1，
仅对
应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
（Ⅲ）
当
时
，
此时
A
有二重特征
值
而
仅对应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
2．
已知
对角矩阵.
是矩阵的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使为
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
3． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
矩阵
逆其中E 是n 阶单位矩阵.
且A 可对角化，
求行列式
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
使或1.
4．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
二、计算题
5． 求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：
（1
）
（2
）
【答案】（1
）对作初等行变换，求它的行阶梯形：