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一、计算题

1． 一个电子设备含有两个主要元件，分别以X 和Y 表示这两个主要元件的寿命（单位:h ）. 若设其联合分布函数为

试求这两个元件的寿命都超过120h 的概率. 【答案】所求概率为

这表明:两个主要元件的寿命都超过120h 的概率为0.0907.

2． 设连续随机变量x 的密度函数p （x ）是一个偶函数，F （x ）为X 的分布函数，求证对任意实数a>0，有

【答案】因为p （x ）是一个偶函数，所以

，可得

（1）在所以

（2）

（3

）

中，令x=-t，则

，且从

3． 设从均值为n ，方差为常数a , b 使

【答案】由于

达到最小. 和

的总体中，分别抽取容量为和的两独立样本，

都是

和分别

是这两个样本的均值. 试证，

对于任意常数

是容量分别为

和

的无偏估计，并确定

的两独立样本的均值，故

因而

这证明了又由

知，

是的无偏估计.

从而

由求导知，当

时，

达到最小，此时

这个结果表明，来自同一总体的两个容量为均值

是线性无偏估计类

和

的样本的合样本（样本量为

中方差最小的.

若已知分位数

）的

4． 某种绝缘材料的使用寿命T （单位:小时）服从对数正态分布小时，

小时，求和.

的平p 分位数为

其中

为标准正态分布N （0, 1）的P 分位数，所以根据题意有

代人上面两式，可解得

【答案】正态分布

将

5． 测量到某一目标的距离时，发生的随机误差X （m ）具有密度函数

求在三次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率. 【答案】记Y 为三次测量中误差的绝对值不超过30m 的次数，则测量中误差的绝对值不超过30m ”的概率，由

可知

所以“三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m ”的概率为

其中P 为“一次

6．

设

是来自韦布尔分布

的样本（已

知），试给出一个充分统计量.

【答案】样本的联合密度函数为

若令

取

由因子分解定理，

是的充分统计量.

7． 随机选取9发炮弹，测得炮弹的炮口速度的样本标准差s=llm/s, 若炮弹的炮口速度服从正态分布，求其标准差

的0.95置信上限.

，从而有置信上限为

现

，查表知

，

【答案】在正态分布下，对样本方差有等价地，

故标准差的

故标准差的0.95置信上限为

8． 设

是来自密度函数为

的样本，

（1）求的最大似然估计它是否是相合估计？是否是无偏估计？ （2）求的矩估计

它是否是相合估计？是否是无偏估计？

【答案】（1）似然函数为

显然又

在示性函数为1的条件下是的严增函数，因此的最大似然估计为的密度函数为

故

故

不是的无偏估计，但是的渐近无偏估计. 由于

且

这说明又

是的相合估计.

，这给出，所以

（2）由于所以的矩估计为，从而有

，