2018年北京市培养单位国家纳米科学中心811量子力学考研核心题库
● 摘要
一、填空题
1．
当对体系进行某一力学量的测量时. 测量结果一般来说是不确定的. 测量结果的不确定性来源于_____.
【答案】测量的干扰
【解析】当我们对物理量进行测量时，不可避免地对体系施加影响，而这影响将导致体系的波函数发生变化，这最终导致对物理量的测量的不确定性.
2． —粒子的波函数为写出粒子位于【答案】
则
的跃变条件为_____
。若势阱改为势垒
间的几率的表达式_____。
3． 粒子在一维势阱中运动，波函数为
则
【答案】
的跃变条件为_____。
4． 力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数
【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符. 5 设体系的状态波函数为．如在该状态下测量力学是F 在确定的值则力学量算符与态矢
量
的关系为_____。
【答案】
6． 描述微观粒子运动状态的量子数有_____; 具有相同n 的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。 【答案】
二、选择题
7． 正交归一性表示为_____，如果算符是厄米算符，则它满足_____。 【答案】
8． 量子谐振子的能量是（ ）
.
【答案】A
【解析】
由于谐振子的哈密顿算符为
9． 一维自由电子被限制在x 和
处两个不可穿透壁之间
，
埃，如果
是电子最低能
而
本征值为n ，
于是谐振子能量为
态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多少？（ ）
I 【答案】C
【解析】
一维无限深方势阱中能级公式为
由题意，基态能量为
则可知，
较高级能量与基态能量比值为
则第一激发态能量为
10．量子力学中的力学量用_____算符表示，表示力学量的算符有组成_____的本征函数。 【答案】厄密；完全系
11．下列算符【答案】
是线性算符的是_____。
12．设粒子处于态（ ）。
【答案】B
为归一化的球谐函数，则的平均值为
三、证明题
13．处于某种量子环境下的电子的哈密顿量具有如下形式：
其中，m 是电子质量，【答案】体系哈密顿量：
其中，显然有
设：
于是有：
其中：
同理，有:
因此，有：
利用类似的方法，可得：
因此，有：
综上所述，可以得到
也即
故为体系守恒量，得证。
为电子动量算符，算符定义为
且和B 都
为实常数，证明电子角动量算符的分量为该体系的守恒量。