2016年大连理工大学运载工程与力学学部数学之高等数学复试笔试最后押题五套卷
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一、计算题
1． 已知单摆的振动周期
，其中
1为摆长（单位为cm ），设原摆长为20cm ，
为使周期T 增大0.05s ，摆长约需加长多少？
【答案】由故
即摆长约需加长2.23cm 。
2． 一物体按规律x=ct3作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x=0移到x=a时，克服介质阻力所作的功。
【答案】速度为设当t=T时，x=a，得
3．
设
。
【答案】
，阻力为，故
具有连续偏导数，
而
，由此得到
。
，
求。
，得
4． 设函数y=f（x ）的图形如图，试在图（a ）、（b ）、（c ）、（d ）中分别标出在点x 0的dy ，△y 及△y-dy ，并说明其正负。
【答案】
5． 问a , b 为何值时, 点（1, 3）为曲线
【答案】令当当当由于
时,
在的两侧变号, 故点, 得
。
时, y”<0, 因此曲线在时, y ”>0, 因此曲线在
上是凸的; 上是凹的;
为曲线的惟一拐点。
的拐点?
从而要使点（l , 3）为拐点, 则
解得
, 。
6． 求由抛物线y=x，及直线y=1所围成的均匀薄片（面密度为常数）对于直线y=-1的转动惯量。
【答案】闭区域
，所求的转动惯量为
2
二、证明题
7． 设
性。
【答案】
当
时
，
；
当
，
即
求
在[0，2]上的表达式，并讨论
在（0, 2）内的连续
由于，，且，故函数在x=1处连
续，而在其他点处显然连续，因此函数在区间（0，2）内连续。
在（0，2）内可导，因此
在[a，b]上连续。按照连续函数定义不
注:事实上，由于f （x ）在（0，2）内连续，故必在（0，2）内连续。我们甚至有以下更强的结论:
若f （x ）在[a，b]上有界并可积，则
难证明这一结论。作为练习，请读者自己证明之。
8． 设f （x ，y ）在D 上连续，其中D 是由直线y=x，y=a及x=b（b>a）所围成的闭区域，证明
【答案】等式两端的二次积分均等于二重积分
，因而它们相等.
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