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一、计算题

1． 如图1所示，一平凸透镜的折射率为放置在空气中，透镜孔径的半径为上取一点

取什么形状？透镜顶点点与点相距多少？对透镜的孔径有何限制？

在透镜外主光轴

当平行光沿主光轴入射时，为使所有光线都会聚在点，试问：透镜凸面应

图1

【答案】

取

坐标如图1所示，

由光线

和

的等光程性，得

把上式取平方，加以整理，

得出透镜凸面上任一点

的坐标

应满足的方程为

令

则方程简化为

这是双曲线的方程。由旋转对称性，透镜的凸面应是旋转双曲面。

透镜顶点

点的位置

应满足

故

可见，

对于一定的

和

因F 点在透镜外，

即

由决定。

这是对的限制条件，即

也即要求

在极限情形时，

即当

时，有如下结果：

即

点与

点重合。又因在此极限情形下，有

故透镜凸面的双曲线方程变为

即

双曲线退化成通过F 点的两条直线，即这时透镜的凸面变成以点为顶点的圆锥面，如图2所示。任意

一条入射光线

由折射定律，有

由几何关系

可知

即所有入射的平行光线，

折射后均沿圆锥面到达点，此时的角就是全反射的临界角。

图2

2． 如图所示，半径为r 的长直密绕空心螺线管，单位长度上绕线的匝数为n ，

所加交变电流为

今在管的垂直平面上放置一个半径为2r , 电阻为R 的导线环，其圆心恰好在螺线管

的轴线上。求：

（1

）导线环上涡旋电场（2

）导线环上感应电流

的值；

（3）导线环与螺线管之间的互感系数M 。

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图

【答案】（1）长直螺线管内的磁感强度

磁通量

导线环上的感生电动势

所以

（2）导线环上感应电流

（3）导线环与螺线管之间的互感系数

3． 如图所示的装置中，轻弹簧一端固定

，另一端通过跨过桌边定滑轮的细绳与物块相连，已知弹簧的劲度系数为

滑轮的质量为

半径为

物块的质量为

（1）试求系统静止时弹簧的伸长量和绳的张力；

（2）现将物块托起一小距离再突然放手，任物块下落而整个系统进入振动状态，试求物块的振动周期（设绳子长度一定，绳子与滑轮间不打滑，滑轮轴承处无摩擦）。

图

【答案】（1）因为

所以