2018年广西大学农学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
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2018年广西大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研基础五套测试题（一）.... 2 2018年广西大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研基础五套测试题（二）.. 10 2018年广西大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研基础五套测试题（三）.. 17 2018年广西大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研基础五套测试题（四）.. 28 2018年广西大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研基础五套测试题（五）.. 35
一、解答题
1． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
线性无关.
求
是3维非零列向量，若线性无关；
且
非零可知，
是A 的个
令
故
2． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
将
代入得，
构
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
3．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
故所求的方程组可取为
解得此方程组
又由
得
因
与
可知综上可知
，
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系. 且秩
那么
4． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
的值.
即或
贝
因为A 是
是正定矩阵，
并求行列式
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，且
二、计算题
5．
设
左乘所给方程两边，
得
又
，注意到
是可逆矩阵，
且于是
故A 是可逆矩阵，
用
，求B.
因此仍从公式
着手. 为此，用A
右乘上式两边，得
【答案】由于所给矩阵方程中含有A
及其伴随阵
6． 用配方法化下列二次型成规范形，并写出所用变换的矩阵：
（1
）（2
）（3
）
令
即
【答案】⑴由于f
中含变量的平方项，
故把含的项归并起来，配方可得
写成矩阵形式：x=Cy，这里
为可逆阵. 在此可逆变换下，f 化为规范形：
（2）由于f
中含变量的平方项，
故把含的项归并起来，配方可得