2018年广西大学林学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
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2018年广西大学林学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题（一）.... 2 2018年广西大学林学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题（二）.... 7 2018年广西大学林学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题（三）.. 15 2018年广西大学林学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题（四）.. 22 2018年广西大学林学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题（五）.. 29
一、解答题
1． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若
求行列
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故
2． 已知A
是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与由
的解.
对
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
得到
所以矩阵
的基础解系为
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
线性表出，
故可设
于是
则既可由
线性表出，也可
对作初等行变换，有
不全为
其中t 为任意常数.
有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
有惟一解知
则方程组
. 即
即有
可逆.
易知
于是方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有非零解，这与
有非零解，即存在
为可逆矩阵，
且方程组
当a=0时，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
3． 设A
为
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
4．
已知
，求
得
矩阵
且
【答案】
令
则且有
1
所以
二、计算题
5．
证明二次型
【答案】
设又
另一方面，
取
在
时的最大值为矩阵A 的最大特征值.
为A 的n 个特征值，则有正交变换x=Qy，使
即
为第1个分量是1的单位坐标向量，
再令
则
并且二次型f
在处的值为
综合以上知
6． 设A , B
都是
矩阵，证明A 〜B 的充要条件是R （A ）=R（B ）.
【答案】必要性即课本结论，故只需证明充分性. 设R （A ）=R（B ）=r，那么矩阵A ，B 有相
同的标准形
于是A 〜F ，B 〜F ，从而由等价关系的对称性和传递性，知A 〜B.
7． 已知矩阵A
的伴随阵
【答案】
先由
故
来确定
由题意知
再化简所给矩阵方程
且存在，有
求B. 得，
而
由
知
得于是 8．
设
问k 为何值，可使（1）R （A ）=1; （2）R （A ）=2; （3）R （A ）=3.
因
于是R （A ）=2;
【答案】方法一：因A 为3阶方阵，故所以当当k=-2时
，当k=l时，
知R （A ）=1.
方法二：对A 作初等行变换
.
时，R （A ）=3.
又A 的左上角二阶子式不为零，故