2018年广西大学林学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
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2018年广西大学林学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研基础五套测试题（一）.... 2 2018年广西大学林学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研基础五套测试题（二）.... 9 2018年广西大学林学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研基础五套测试题（三）.. 16 2018年广西大学林学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研基础五套测试题（四）.. 24 2018年广西大学林学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研基础五套测试题（五）.. 32
一、解答题
1． 已知实二次
型
的矩阵A ，满
足
且
其
中
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ
）求出二次型【答案】（Ⅰ）
由由
知，B
的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A
有特征值即
是属于A 的特征值
.
则
与—
j 正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然B 的第1, 2列线性无关
，量，从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
则由正交变换
化二次型为标准形
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（
Ⅱ）由于故
故二次型
2． 证明
n 阶矩阵
与相似.
【答案】设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以B 的n 个特征值也为对于n-1重特征值
由于矩阵（0E-B ）
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=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1
重特征值的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可
知n
阶矩阵
与相似.
3．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
线性无关，
列向量组线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
则
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
使得
线性无关；
向量组
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量 4．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
所有非零解
_
t 为任
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.