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一、计算题

1． 将n 根绳子的2n 个头任意两两相接，求恰好结成n 个圈的概率.

【答案】设事件

为“恰好结成n 个圈”，记

又记事件B 为“第1根绳子的两个头

容易看出

所以得递推公式

由此得

2． 口袋中有5个白球，8个黑球，从中不放回地一个接一个取出3个. 如果第i 次取出的是白球，则令

（1）（2）【答案】⑴

将以上计算结果列表为

表1

，否则令

的联合分布列.

求

的联合分布列；

相接成圈”，则由全概率公式得

（2）

将以上计算结果列表为

表

2

3． 设在区间（0, 1）上随机地取n 个点, 求相距最远的两点间的距离的数学期望.

【答案】解法一:分别记此n 个点

（0, 1）上的均匀分布U （0, 1）. 我们的目的是求

而.

和

的密度函数分别为

又因为

所以

解法二:n 个点把区间（0, 1）分成n+1段, 它们的长度依次记为是随机取的, 所

以

因此

而相距最远的两点间的距离为

则相互独立, 且都服从区间

因为此n 个点

具有相同的分布, 从而有相同的数学期望.

而

因此所求期望为

4． 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布（

）?

【答案】这是关于正态总体均值的双侧假设检验问题，原假设和备择假设

由于总体方差已知，故采用“检验，

检验的拒绝域为

当

由已知条件，

故

这里值没有落入拒绝域，故不能拒绝原假设，因而可以认为生产的铁水平均含碳量仍为4.55.

5． 一个保险公司有10000个汽车投保人, 每个投保人平均索赔280元, 标准差为800元. 求总索赔额超过2700000元的概率.

【答案】记

为第i 个投保人的索赔额,

. 则

. 由林

德伯格-莱维中心极限定理, 所求概率为

6． 每门高射炮击中飞机的概率为0.3，独立同时射击时，要以99%的把握击中飞机，需要几门高射炮？

【答案】设共需要n 门高射炮，

记事件

而

由此得

两边取对数解得

所以取n=13，可以有99%的把握

击中飞机.

7． 从一批服从指数分布的产品中抽取10个进行寿命试验，观测值如下（单位：h ）:

根据这批数据能否认为其平均寿命不低于1100h （取）？

【答案】

指数分布题，待检验的假设为

由样本数据可算得若取

则查表知

故检验统计量为

由于拒绝域为

现在测定了9炉铁水，其平均含碳量

为4.484, 如果铁水含碳量的方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55

分别为

时，

查表知

为“第i 门炮射击命中目标”，i=l，2，…，n.

则

中是总体均值，所以这是一个关于指数分布参数的假设检验问

故接受原假