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一、填空题

1． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。 【答案】 2．

为氢原子的波函数（不考虑自旋），

写出粒子位于

间的几率的表达式_____。

分别称为_____量子

数、_____量子数、_____量子数，它们的取值范分别为_____、_____、_____。 【答案】主；角；磁；

3． —粒子的波函数为【答案】

4． 力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数

【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符. 5 用球坐标表示 ，．粒子波函数表为写出粒子在球壳中被测到的几率_____。【答案】

6． 粒子在一维势阱中运动，波函数为

则

【答案】

则

的跃变条件为_____

。若势阱改为势垒

的跃变条件为_____。

二、证明题

7． 设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下，【答案】设束缚定态为

即有：

因A 不显含时间t , 所以

因而有：

8． 证明么正变换不改变算符的本征值。

【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：

由于相似变换不改变矩阵本征值，故

与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。

三、计算题

9． 粒子的一维运动满足薛定愕方程：（1）若

是薛定谔方程的两个解，证明

与时间无关.

（2）若势能V 不显含时间t ，用分离变数法导出不含时的薛定谔方程，并写出含时薛定谔方程的通解形式. 【答案】⑴

取式（1）之复共轭，得

得

对全空间积分： 即

所以与时间无关.

（2）设

代入薛定谔方程，分离变量后，得E 为既不依赖t , 也不依赖r 的常数. 这样，所以

因此，通解可以表示为其中，

是满足不含时的薛定谔方程

10．已知氢原子在t=0时如下处于状态：

其中，

为该氢原子的第n 个能量本征态。求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值，写出t

将t=0时的波函数写成矩阵形式：

＞0时的波函数。

【答案】已知氢原子的本征值为：

利用归一化条件：

于是，归一化后的波函数为：

能量的可能取值为

相应的取值几率为：

能量平均值为：

自旋z 分量的可能取值为

相应的取值几率为：

自旋z 分量的平均值为：

f>0时的波函数为：