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一、选择题

1．

_____

_____。

【答案】

2． 考虑个无相互作用的玻色子处在一维无限深势阱中，粒子质量为

势阱范围为

则体系的基态能量是（ ）。

【答案】E

3． 量子力学中的力学量用_____算符表示，表示力学量的算符有组成_____的本征函数。 【答案】厄密；完全系

4． 中心力场中，算符的式子是（ ） A. B. C. D.

【答案】C

5． 一维自由电子被限制在x 和

的共同征函数为则关于这两个算符的本征值方程正确

处两个不可穿透壁之间

，埃，如果是电子最低能

态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多少？（ ）

I 【答案】C

【解析】

一维无限深方势阱中能级公式为

由题意，基态能量为

则可知，

较高级能量与基态能量比值为

则第一激发态能量为

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6． 量子力学中，体系的任意态_____，展开式系数_____。 【答案】

可用一组力学量完全集的共同本征态展开，展开式为

二、简答题

7． —个量子体系处于定态的条件是什么？

【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。

8． 量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？

【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.

量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.

9． 什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？

【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.

10．坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为

测不准关系为

11．将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据

对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于

粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。

12．试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.

叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.

为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合

问

是否

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13．如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为

.

则对任意波函数

完全系为有：

可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

14．分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】

15．以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量

用算符表示，

当体系处于某个能量态

的作用是得到这一本征值，即

当体系处于一般态

的本征态

时，算符对

的作

时，算符对态

依题意

，即用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率）

16．现有三种能级【答案】一维谐振子．

请分别指出他们对应的是哪些系统。

对应一维无限深势阱；

对应中心库仑势系统，例如氢原子；对应

三、证明题

17．处于某种量子环境下的电子的哈密顿量具有如下形式：

其中，m 是电子质量，【答案】体系哈密顿量：

其中，显然有

设：

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为电子动量算符，算符定义为且和B 都

为实常数，证明电子角动量算符的分量为该体系的守恒量。