2017年中国矿业大学(徐州)理学院858量子力学之量子力学教程考研题库
● 摘要
一、填空题
1． 称_____、_____、_____等固有性质完全相同的微观粒子为_____。 【答案】质量；电荷；自旋；全同粒子 2 用球坐标表示，．粒子波函数表为【答案】
写出粒子在球壳
中被测到的几率_____。
3． 自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____, 自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。 【答案】的奇数倍；反对称变换
4． （1）体系处在用归一化波函数算符的本征函数系展开. 即
的整数倍；对称变换
描述的状态. 且此波函数可以按力学量A 所对应的厄米认为
是归一的，则决定系数的表达式为_____。
_____。
（2）题（1）中设是算符的本征值，则力学量A 的平均值果的概率为_____。 【答案】（1）【解析】由题意考虑到正交归一化条件（2）
以及正交归一化条件
在上式两边乘以
有
并积分得
（3）题（1）中当对体系进行力学量A 测量时，测量结果一般来说是不确定的. 但测量得到某一结
【解析】由平均值定义式（3）
为确定
在上式两边乘以有
而概率应该为
为定值.
并积分得
考虑到正交归一化条件
有
【解析】由题意
5．
表示_____，几率流密度表示为_____。
则粒子位于
间的几率为_____。
【答案】几率密度；
6． 一粒子的波函数【答案】
二、证明题
7． 证明，
【答案】因为
可得：
8． 试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。 【答案】设可得：
（其中
为幺正变换，则:
）
可见，本征值不变。
三、计算题
9． 设在平行于y 轴的磁场中，一个电子的哈密顿为旋算符，在t=0时刻，电子处在【答案】粒子的哈密顿量
本征值为
因此定态方程
t 时刻，电子波函数满足：
因为
故：
其中，为自的解为：
的本征态，求以后t 时刻电子所处状态的表示式。
所以：
10．（1）求算符【答案】⑴
即算符⑵则
11．力学量在自身表象中的矩阵表示有何特点？
【答案】力学量在自身表象中的矩阵是对角的，对角线上为的本征值。
12．二电子体系中，
总自旋【答案】（
写出（
）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。
不对易.
得证.
的对易关系. （2）证明
其中
）的归一化本征态记为则自旋单态为：
自旋三重态为：
13．一自由的三维转子的Hamiltonian
为（1）求能谱与相应的简并度； （2）若给此转子施加以微扰已知：
【答案】（1）显然，哈密顿算符与本征值对应， 故三维转子能谱
（2）转子在基态非简并时，
式中，是轨道角动量算符，1是转子的转动惯量。
求基态能级移动（直至二阶微扰）.
其中1为轨道角动量量子数，其简并度为21+1 .