2018年浙江农林大学环境与资源学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
2．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。 故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
3． 已知A
是矩阵，齐次方程组
的基础解系是次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
由
的解.
对
得到
所以矩阵
的基础解系为
则既可由
对
作初等行变换，有
不全为
当a=0时，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
4．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
其中t 为任意常数.
与
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
又知齐
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
线性表出，
故可设
于是
线性表出，也可
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
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故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵
A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为
，由于
所以为矩阵对应特征值所以为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
二、计算题
5．
已知
（1）能由（2）
不能由
，
故
（2）
方法二：（1）
无关）；又
，
表示.
（2）反证法：若由盾.
6． 设有向量组A :
（1）向量B 不能由向量组A 线性表示；
（2）向量B 能由向量组A 线性表示，且表示式惟一；
（3）向量B 能由向量组A 线性表示，且表示式不惟一，并求一般表示式.
证明
线性表示；
线性表示.
，
知则知能由
，则知不能由
向量组向量组
能由
线性无关
线性相关. 于是
，必能由
，又己知 线性表示
； 线性表示.
（惟一地）线性
【答案】方法一：（1
）由
线性无关（整体无关则部分
线性表示，而由（
1
）
, 可由
线性相关. 于是
线性表示. 这样，也就能，此与
相矛
线性表示，从而可知
及向量问为何值时
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