2018年中国地质大学(武汉)地球科学学院610高等数学之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、填空题
1． 四阶矩阵A 和B
满足
若
则B=_____.
【答案】
右乘A 有2B=BA+6E.
【解析】化简矩阵方程，
左乘于是B （2E-A ）
=6E
2． 设n 阶矩阵a 的各行元素之和均为零，且A
的秩为
【答案】【解析】
由
的各行元素之和为0,
知
3．
已知方程组
【答案】3
【解析】
线性方程组
有解的充分必要条件是
而有无穷多解的充要条件是
对増广矩阵作初等行变换，有
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则线性方程组的通解为_____.
个解向量. 又矩阵A
知方程组
为
的基础解系只含有的非零解，则方程组
.
的通解为.
有无穷多解，那么_____.
由于
r （
A ）
=2, 而 4
． 已知
特征值是_____
。
【答案】-5 【解析】设
是矩阵
属于特征值，的特征向量，按定义有
即
由⑵知中
⑵一⑶易见
那么
因为A 和
特征值互为倒数，故a 是矩阵A
于是
即
是矩阵
所以，方程组有解的充分必要条件是a=3.
的逆矩阵的特征向量
，
那么在矩阵
A 中对应的
所对应的特征向量.
二、选择题
5
． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 相似但不合同 D. 不相似也不合同 【答案】B
【解析】AtB 均是实对称阵，
则A 与B 有关系（ ）。
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A 有特征值B 有特征值故A , B
不相似，但
A , B
的正惯性指数均为p=l，
负惯性指数为0, 故A , B 合同.
6
． 与二次型
A.
的矩阵A
既合同又相似的矩阵是（ ）。
B.
C.
D. 【答案】B
【解析】二次
型则有
经正交变换
化为新的二
次型，由于
故
即原二次型矩阵A 和新二次型矩阵B 合同，又因Q 是正交矩阵，因此在正交变换下，二次型矩阵A 与B 不仅合同而且相似.
因为两个实对称矩阵相似的充分必要条件是有相同的特征值，现在
知矩阵A 的特征值是2, 4, -2. 所以应当选B.
7． 三阶矩阵A 的特征值全为零，则必有（ ）。
A. 秩r （A ）=0 B. 秩r （A ）=1 C. 秩r （A ）=2 D. 条件不足，不能确定 【答案】D
【解析】请考察下列矩阵
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